華夏科技躍遷錄
第二章 批注里的線索與 BSD 猜想第一關
清晨七點的圖書館數(shù)學館，晨霧還沒散盡，雕花窗欞的雅塔只露出半截灰磚塔尖。
林舟抱著塞爾批注版的《橢圓曲算術理論》坐位置，面前攤的草稿本，昨晚抄的 Weiertr 公式旁，己經(jīng)畫滿了密密麻麻的問號。
“43 + 72≠0，確保非奇異…… 可為什么判別式 Δ=0 就出奇點？”
他咬著筆桿，指尖劃過書頁塞爾用紅筆圈出的 “數(shù)曲奇點類” 章節(jié) —— 批注寫著 “需結合數(shù)幾何的扎斯基拓撲理解，可孤立方程”，字跡遒勁，和書簽的字筆跡有些像。
他想起系統(tǒng)推薦的習題：《橢圓曲算術理論》章習題 7，要求驗證 “當 =-，= ，橢圓曲 y2=x3-x+ 存尖點”。
林舟立刻草稿本寫方程，先算判別式 Δ=-6 (4×(-7)+7×4)=-6×0=0，符合系統(tǒng)的 “奇點條件”。
可怎么證明這是 “尖點” 而非其他奇點？
他到《模形式導引（4 年孤本）》的 4 頁，系統(tǒng)推薦的 “伽羅瓦群作用” 章節(jié)，有行鉛筆批注：“尖點判定可求偏導，雅可比矩陣秩 —— 這是數(shù)曲的基礎作，別懶”。
林舟眼睛亮，立刻計算偏導數(shù)：對 x 的偏導是 x2-，對 y 的偏導是 y。
入曲與 x 軸的交點（x= ，y2=-+=0），得到雅可比矩陣為 [[0,0]]，秩為 0—— 恰符合尖點的判定條件（雅可比矩陣秩于 ）。
“原來如此！”
他猛地攥緊筆，草稿紙的等號畫得格重，意識的進度條輕輕跳了：理論知識掌握度 4.%。
這的升讓他振，又挑了習題的另個例子：=0，=0，方程變?yōu)?y2=x3。
算判別式 Δ=0，求偏導得 [[x2,y]]，原點 (0,0) 處矩陣秩仍為 0。
可塞爾的批注意標了 “此為結點，非尖點”—— 林舟頓住了，剛起的筆懸半空。
“都是秩 0，怎么尖點和結點？”
他皺著眉書，指尖又蹭到了書架側的 “” 字劃痕。
這次指尖的暖意更明顯，像有弱的信號醒他 —— 他忽然想起昨晚的《數(shù)數(shù)論進階》，有章講 “參數(shù)化曲的光滑”，面過 “用冪級數(shù)展判斷奇點類型”。
林舟趕緊把那本書找過來，到 7 頁。
系統(tǒng)似乎察覺到他的思路，意識彈出行淡藍示：示：尖點對應參數(shù)化后階導數(shù)為 0、二階導數(shù)非 0；結點對應兩支切同 —— 可嘗試對 y2=x3 參數(shù)化，令 t=y/x（x≠0）他順著示往算：令 t=y/x，則 y=tx，入方程得 t2x2=x3，即 x=t2，y=t3。
對 t 求導，階導數(shù) x/t=t，y/t=t2， t=0（對應原點）處均為 0；二階導數(shù) 2x/t2=，2y/t2=6t，t=0 前者非 0—— 符合尖點征。
再試 y2=x3-x+ 的 x= 處，參數(shù)化后算到二階導數(shù)，林舟忽然停筆 —— 草稿紙的演算步驟，竟和塞爾批注 “某類橢圓曲奇點判定實例” 的推導框架重合了。
他抬頭了眼窗，晨霧散了些，陽光落書簽背面，露出行之前沒注意的字：“7 年冬，證此例卡了，后得陳先生點”。
“陳先生？”
林舟動，導師過，陳院士年輕曾跟著塞爾訪學。
他低頭繼續(xù)算，等后筆落，草稿本終于清晰寫著 “故 =-，= ，曲 x= 處為尖點” ，意識的進度條又跳了：6.%。
“才升 .6%？”
林舟揉了揉發(fā)酸的腕，卻沒覺得沮喪 —— 剛才的演算，他至回頭了次書，驗證了個定理，這種 “啃透每個細節(jié)” 的感覺，比首接得到答案更踏實。
這，穿灰山裝的教授推著書經(jīng)過，瞥見他草稿本的公式，忽然停腳步：“年輕，研究橢圓曲的奇點？”
林舟抬頭，才發(fā)是數(shù)學系的李教授，主攻數(shù)幾何。
“李師，我章習題 7?！?br>
他把書遞過去，李教授到塞爾的批注，笑了：“塞爾這批注，當年陳先生也抄過 —— 對了，你注意到?jīng)]，這類有尖點的橢圓曲，恰和 BSD 猜想‘莫爾群秩為 0’的況相關?！?br>
林舟猛地震。
BSD 猜想！
他光顧著驗證習題，竟忘了初的目標。
李教授剛要再說，林舟意識的系統(tǒng)突然彈出新的文字，這次是示，而是清晰的 “關卡” 劃：BSD 猜想拆解：關 —— 計算 y2=x3-x+ 的莫爾群秩務要求：. 先學習《橢圓曲的有理點》西章 “Ngell-Ltz 定理”；. 找出該曲所有有理點，據(jù)此確定莫爾群秩；. 止首接引用己有結論，需主驗證每個有理點的有效。
“莫爾群秩……” 林舟喃喃重復，李教授聞言點頭：“這是破解 BSD 的步 —— 先搞懂‘曲有多獨立的有理點’，才能談后續(xù)的 L 函數(shù)關聯(lián)。”
他拍了拍林舟的肩：“慢慢來，每關都踩實了，后面的路才走?！?br>
李教授走后，林舟盯著系統(tǒng)的 “關” 示，又了眼草稿本的曲方程。
晨光，他新的草稿頁頂端寫：“BSD 關：Ngell-Ltz 定理→找有理點→算秩”，筆尖落，進度條末尾的熒光閃了閃，像是為他的 “闖關” 倒計。
林舟抱著塞爾批注版的《橢圓曲算術理論》坐位置，面前攤的草稿本，昨晚抄的 Weiertr 公式旁，己經(jīng)畫滿了密密麻麻的問號。
“43 + 72≠0，確保非奇異…… 可為什么判別式 Δ=0 就出奇點？”
他咬著筆桿，指尖劃過書頁塞爾用紅筆圈出的 “數(shù)曲奇點類” 章節(jié) —— 批注寫著 “需結合數(shù)幾何的扎斯基拓撲理解，可孤立方程”，字跡遒勁，和書簽的字筆跡有些像。
他想起系統(tǒng)推薦的習題：《橢圓曲算術理論》章習題 7，要求驗證 “當 =-，= ，橢圓曲 y2=x3-x+ 存尖點”。
林舟立刻草稿本寫方程，先算判別式 Δ=-6 (4×(-7)+7×4)=-6×0=0，符合系統(tǒng)的 “奇點條件”。
可怎么證明這是 “尖點” 而非其他奇點？
他到《模形式導引（4 年孤本）》的 4 頁，系統(tǒng)推薦的 “伽羅瓦群作用” 章節(jié)，有行鉛筆批注：“尖點判定可求偏導，雅可比矩陣秩 —— 這是數(shù)曲的基礎作，別懶”。
林舟眼睛亮，立刻計算偏導數(shù)：對 x 的偏導是 x2-，對 y 的偏導是 y。
入曲與 x 軸的交點（x= ，y2=-+=0），得到雅可比矩陣為 [[0,0]]，秩為 0—— 恰符合尖點的判定條件（雅可比矩陣秩于 ）。
“原來如此！”
他猛地攥緊筆，草稿紙的等號畫得格重，意識的進度條輕輕跳了：理論知識掌握度 4.%。
這的升讓他振，又挑了習題的另個例子：=0，=0，方程變?yōu)?y2=x3。
算判別式 Δ=0，求偏導得 [[x2,y]]，原點 (0,0) 處矩陣秩仍為 0。
可塞爾的批注意標了 “此為結點，非尖點”—— 林舟頓住了，剛起的筆懸半空。
“都是秩 0，怎么尖點和結點？”
他皺著眉書，指尖又蹭到了書架側的 “” 字劃痕。
這次指尖的暖意更明顯，像有弱的信號醒他 —— 他忽然想起昨晚的《數(shù)數(shù)論進階》，有章講 “參數(shù)化曲的光滑”，面過 “用冪級數(shù)展判斷奇點類型”。
林舟趕緊把那本書找過來，到 7 頁。
系統(tǒng)似乎察覺到他的思路，意識彈出行淡藍示：示：尖點對應參數(shù)化后階導數(shù)為 0、二階導數(shù)非 0；結點對應兩支切同 —— 可嘗試對 y2=x3 參數(shù)化，令 t=y/x（x≠0）他順著示往算：令 t=y/x，則 y=tx，入方程得 t2x2=x3，即 x=t2，y=t3。
對 t 求導，階導數(shù) x/t=t，y/t=t2， t=0（對應原點）處均為 0；二階導數(shù) 2x/t2=，2y/t2=6t，t=0 前者非 0—— 符合尖點征。
再試 y2=x3-x+ 的 x= 處，參數(shù)化后算到二階導數(shù)，林舟忽然停筆 —— 草稿紙的演算步驟，竟和塞爾批注 “某類橢圓曲奇點判定實例” 的推導框架重合了。
他抬頭了眼窗，晨霧散了些，陽光落書簽背面，露出行之前沒注意的字：“7 年冬，證此例卡了，后得陳先生點”。
“陳先生？”
林舟動，導師過，陳院士年輕曾跟著塞爾訪學。
他低頭繼續(xù)算，等后筆落，草稿本終于清晰寫著 “故 =-，= ，曲 x= 處為尖點” ，意識的進度條又跳了：6.%。
“才升 .6%？”
林舟揉了揉發(fā)酸的腕，卻沒覺得沮喪 —— 剛才的演算，他至回頭了次書，驗證了個定理，這種 “啃透每個細節(jié)” 的感覺，比首接得到答案更踏實。
這，穿灰山裝的教授推著書經(jīng)過，瞥見他草稿本的公式，忽然停腳步：“年輕，研究橢圓曲的奇點？”
林舟抬頭，才發(fā)是數(shù)學系的李教授，主攻數(shù)幾何。
“李師，我章習題 7?！?br>
他把書遞過去，李教授到塞爾的批注，笑了：“塞爾這批注，當年陳先生也抄過 —— 對了，你注意到?jīng)]，這類有尖點的橢圓曲，恰和 BSD 猜想‘莫爾群秩為 0’的況相關?！?br>
林舟猛地震。
BSD 猜想！
他光顧著驗證習題，竟忘了初的目標。
李教授剛要再說，林舟意識的系統(tǒng)突然彈出新的文字，這次是示，而是清晰的 “關卡” 劃：BSD 猜想拆解：關 —— 計算 y2=x3-x+ 的莫爾群秩務要求：. 先學習《橢圓曲的有理點》西章 “Ngell-Ltz 定理”；. 找出該曲所有有理點，據(jù)此確定莫爾群秩；. 止首接引用己有結論，需主驗證每個有理點的有效。
“莫爾群秩……” 林舟喃喃重復，李教授聞言點頭：“這是破解 BSD 的步 —— 先搞懂‘曲有多獨立的有理點’，才能談后續(xù)的 L 函數(shù)關聯(lián)。”
他拍了拍林舟的肩：“慢慢來，每關都踩實了，后面的路才走?！?br>
李教授走后，林舟盯著系統(tǒng)的 “關” 示，又了眼草稿本的曲方程。
晨光，他新的草稿頁頂端寫：“BSD 關：Ngell-Ltz 定理→找有理點→算秩”，筆尖落，進度條末尾的熒光閃了閃，像是為他的 “闖關” 倒計。